Chebyshev = O(x) Posted on 2019-11-01 Edited on 2019-12-23 一个优雅的关于第一切比雪夫函数渐进性态的证明。 前日，在查PNT的时候看到一个优雅的关于 \vartheta(x) = O(x) 的证明。第一切比雪夫函数定义如下： \vartheta: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}, \ \vartheta\left(x\right) = \sum_{p \leq x \atop p\ is\ prime} \ln{p} 对于 n 与 2n 之间的素数 p ，它一定不是 n! 的因子。因此有 \prod_{n < p < 2n}p\ \Bigg|\ C_{2n}^{n} 因而 2^{2n} \geq C_{2n}^{n} \geq \prod_{n < p < 2n}{p} 两边取对数，则 2n\ln2 \geq \sum_{n < p < 2n} \ln{p} 用切比雪夫函数表示，即得 \vartheta\left(2x\right) - \vartheta\left(x\right) \leq 2x\ln2 令 x \leftarrow \frac{x}{2} ，得 \vartheta\left(x\right) - \vartheta\left(\frac{x}{2}\right) \leq x\ln2 不断反复这个操作，并将左侧全部加和得 \vartheta\left(2x\right) \leq 4x\ln2 即 \vartheta\left(x\right) = O(x)